Максим Ешкенази е роден в София през 1976 г. в семейство на музиканти. Започва да учи цигулка от четиригодишна възраст. През 1983–1995 г. учи в Националното музикално училище „Любомир Пипков“, а след това в Националната музикална академия „Панчо Владигеров“ в класа по цигулка на проф. Йосиф Радионов и дирижиране и композиция при акад. Васил Казанджиев и проф. Пламен Джуров. Завършва майсторските класове на проф. Захар Брон в Хамбург и проф. Ифра Нийман в Майнц и Лондон. През 1985 г. е концертмайстор на Младежка филхармония „Пионер“.
От 1999 г. е втори диригент на Филхармония на нациите, с която изнася над 1000 концерта в Европа, САЩ и Азия. През 2004 г. дебютира със Софийската филхармония, след което е поканен за гост-диригент. От сезон 2011– 2012 е главен диригент. Гастролира в Германия, Великобритания, Нидерландия, Италия, Русия, САЩ, Република Южна Африка, Австралия, Аржентина, Румъния, Израел и Китай, като работи с повече от 30 оркестъра. От 2010 г. е музикален директор на фестивала „Дни на класиката – Балчик“.
От юли 2008 г. Максим Ешкенази е втори диригент на Оркестър Pacific Symphony в САЩ. Сред предишните му ангажименти като диригент са тези на музикален директор на младежкия оркестър „Бейкърсфилд” и на асистент-диригент на Оркестъра на Colburn School в Лос Анжелис. Преди това Ешкенази е бил музикален директор на Младежкия симфоничен оркестър на Пасадена, както и на Камерния оркестър „Музика на промяната”, а също така и втори диригент на Американския младежки симфоничен оркестър, както и на Камерен оркестър „Херберт Ципер”.
Автор е на три симфонии за голям симфоничен оркестър, кантата за хор, оркестър и солисти, концерт за ударни и оркестър.
Максим Ешкенази е и лицензиран пилот. Живее в Южна Калифорния, САЩ.
